题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=-x+log₂.
(1)求f()+f(-)的值.
(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

答案

(1)0   (2) f(x)存在最小值,且为log₂-a

解析

∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
(1)f(-x)=x+log₂=x-log₂,
∴f(-x)=-f(x),故f(x)在(-1,1)上是奇函数,
因此f()+f(-)=f()-f()=0.
(2)∵f(x)=-x+log₂(-1+),
令U(x)=-1+,
则U(x)在(-1,1)上是减函数,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
又a∈(0,1),∴当x∈(-a,a]时,f(x)是减函数,
故f(x)_min=f(a)=-a+log₂,
∴f(x)存在最小值,且为log₂-a.