题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)写出Cb的解析式和Ab,Bb两点的坐标
(2)判断线段OAb,OBb长度大小,并证明你的结论
(3)是否存在两个互不相等且都不等于1的正实数m,n,使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似,如果相似,能否全等?证明你的结论.
答案
令y=0,Ab(lnb,0);
令x=0,Bb(0,1-b).
(2)OAb=|lnb|,OBb=|1-b|.
①当0<b<1时,OAb=-lnb,OBb=1-b.
设函数f(x)-lnx-x-1 (0<x<1),
f"(x)=
1 |
x |
∴f(x)在(0,1)上单调递增,
∴f(x)<f(1)=0,
∴-lnx>-x+1
∴OAb>OBb.
②当b>1时,同理可得OAb>OBb,
(3)①当三角形同在第二象限时,0<m<1,0<n<1时,OAb>OBb,
若Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似,只有
1-m |
-lnm |
1-n |
-lnn |
1-m |
lnm |
1-n |
lnn |
设函数g(x)=
1-x |
lnx |
g"(x)=
-lnx-
| ||
ln 2x |
x-xlnx-1 |
xln 2x |
设函数h(x)=x-lnx-1,h"(x)=-lnx>0在(0,1)上恒成立,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,∴h(x)<h(1)=0在(0,1)上恒成立,
∴g"(x)<0在(0,1)上恒成立,g(x)在(0,1)上单调递减,
所以当0<m<1,0<n<1时,不存在.当三角形同在第四象限时,m>1,n>1,同理可得m,n不存在.
③当三角形在不同象限时,不妨设0<m<1,n>1时,若Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似,
则OAm>OBm,OAn<OBn,则有
lnm |
m-1 |
n-1 |
lnn |
设M={f1m|f1m=
lnm |
m-1 |
n-1 |
lnn |
有g(x)性质可得:取m∈(
1 |
e3 |
1 |
e |
lnm |
m-1 |
1 |
e3 |
1 |
e |
∴f1(m)∈[
e |
e-1 |
3e3 |
e3-1 |
e |
e-1 |
3e3 |
e3-1 |
取n∈[e,e2],f2(n)=
n-1 |
lnn |
∴f2(n)∈[e-1,
e2-1 |
2 |
e2-1 |
2 |
可得M∩N≠φ,因此存在0<m<1,n>1,使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn相似.
如果全等,则有.
|
|
|
由lnm=1-n⇒m=e1-n,代入lnn=1-m,
lnn=1-e1-n⇒enlnn=en-e.
设函数F(x)=exlnx-ex+e (x>1),
F"(x)=exlnx+
ex |
x |
ex |
x |
设函数H(x)=xlnx-x+1 ( x>1),
H"(x)=lnx+1-1=lnx>0,
所以H(x)在(1,+∞)上单调递增,∴H(x)>H(1)=0.
所以F"(x)>0在(1,+∞)上恒成立,F(x)在(1,+∞)上单调递增
∴F(x)>F(1)=0.
因此不存在n>1,使得enlnn=en-e.
所以不存在两个互不相等且都不等于1的正实数m,n,使得Rt△OAmBm与Rt△OAnBn全等.
核心考点
试题【函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象向下平移b(0<b,b≠1)个单位后得到的图象记为Cb,Cb与x轴交于Ab点,与y轴交于Bb点,O为坐标原点(1)写出C】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若△ADF面积为S1=f(x),由DE,EG,GF,FD围成的平面图形面积为S2=g(x),分别求出函数f(x),g(x)的表达式;
(2)若四边形DEGF为矩形时x=x0,求当x≥x0时,设F(x)=
f(x) |
g(x) |
1 |
2 |
1 |
x |
(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;
(2)当年广告费为多少万元时,年利润最大?最大年利润是多少万元?
2 |
3 |
(1)已知与A型车性能相近的B型国产车,2002年每辆价格为46万元,若A型车的价格只受关税降低的影响,为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%,B型车价格要逐年降低,问平均每年至少下降多少万元?
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