题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数f(x)＝x²＋ (x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性

答案

(1)函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．

解析

试题分析：(1)当a＝0时，f(x)＝x²，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．   3分
当a≠0时，f(x)＝x²＋x≠0，常数a∈R)，                 5分
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．               6分
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x²＋.
任取x₁，x₂∈[2，＋∞)，且x₁<x₂，
则f(x₁)－f(x₂)＝(x₁²＋)－(x₂²＋)
＝(x₁＋x₂)(x₁－x₂)＋
＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－)．
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁<x₂，
∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂>，所以f(x₁)<f(x₂)，
故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．                 12分
点评：解决函数的性质问题的关键是掌握函数性质的概念，另还要掌握常见的判断方法。