题目
题型:解答题难度:一般来源:温州一模
(1)若a=4,求函数f(x)的极小值;
(2)设函数g(x)=-cos2x,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量xi(i=1,2,3)使得f(xi)-g(xi)的值相等,若存在,请求出a的范围,若不存在,请说明理由?
答案
4 |
x |
4(x2-1) |
x |
则当0<x<1时f"(x)<0,可得函数f(x)在(0,1)上是减函数,
当x>1时f′(x)>0,可得函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
故函数的极小值为f(1)=2;
(2)若存在,设f(xi)-g(xi)=m(i=1,2,3),则对于某一实数m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三个不同的实数根,设F(x)=f(x)-g(x)-m=2x2-alnx+cos2x-m,
则F′(x)=4x-
a |
x |
则G"(x)=8x-2sin2x-4xcos2x=2(2x-sin2x)+4x(1-cos2x),
设h(x)=2x-sin2x,则h′(x)=2-2cos2x≥0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增,
则当x>0时h(x)>h(0)=0,即2x>sin2x,
又1-cos2x>0,则G′(x)>0故G(x)在(0,+∞)上是增函数,
则a=4x2-2xsin2x(x>0)至多只有一个解,故不存.
方法二:关于方程4x-
a |
x |
当a≤0时,由方法一知2x>sin2x,此时方程无解;
当a>0时,由于H′(x)=4+
a |
x2 |
可以证明H(x)=4x-
a |
x |
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x2-alnx(1)若a=4,求函数f(x)的极小值;(2)设函数g(x)=-cos2x,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量xi(i=】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若a是用正六面体骰子从1,2,3,4,5,6这六个数中掷出的一个数,而b是用正四面体骰子从1,2,3,4这四个数中掷出的一个数,求f(x)有零点的概率;
(2)若a是从区间[1,6]中任取的一个数,而b是从区间[1,4]中任取的一个数,求f(x)有零点的概率.
b |
a |
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