题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=alnx．
（1）若两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求a的值，并判断函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性并写出其单调区间；
（2）若函数ϕ(x)=af(x)+

g(x)

a

的图象与直线y=x至少有一个交点，求实数a的取值范围．

答案

（1）由题意：g′（x）=

a

x

，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=

a

2

，
又f′（x）=2（x-1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，
由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：

a

2

×2=-1，∴a=-1，
∴F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x+

1

x

-2≥2

2

-2＞0
即函数F（x）在（0，+∞）上为增函数，
（2）ϕ（x）=af(x)+

g(x)

a

=a(x-1)2+lnx
令h（x）=ϕ（x）-x，由题意得h（x）=0在区间（0，+∞）上至少有一解，h′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

，令h"（x）=0，得x1=

1

2a

，x2=1
①当

1

2a

＜0即a＜0时，h（x）单调递增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
所以h（x）_max=h（1）=-1＜0，所以方程h（x）=0无解．
②当

1

2a

＞1即0＜a＜

1

2

时，h（x）单调递增区间为（0，1），（

1

2a

，+∞)，减区间为（1，

1

2a

），所以极大值h（1）=-1，极小值h(

1

2a

)＜0，
又h（x）=a(x-1)2+lnx-x=a(x-1-

1

2a

)2+lnx-

1

4a

-1
∴h(2+

1

a

)=a(1+

1

2a

)2+ln(2+

1

a

)-1-

1

4a

=a+ln(2+

1

a

)＞0，所以方程恰好有一解；
③当a=

1

2

时，h"（x）≥0，由上②知方程也恰好有一解；
④当a＞

1

2

时，h（x）单调递增区间为（0，

1

2a

），（1，+∞），减区间为（

1

2a

，1），
同上可得方程h（x）=0在（0，+∞）上至少有一解．
综上所述，所求a的取值范围为（0，+∞）