已知函数f（x）=ax2﹣2x+1，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）解关于x的方程f（x）=0；（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省月考题

已知函数f（x）=ax²﹣2x+1，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）解关于x的方程f（x）=0；
（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小值为5，求a的值．

答案

解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x+1在（﹣∞，+∞）上为减函数；
当a＞0时，函数f（x）=ax²﹣2x+1开口向上，对称轴为

∴函数f（x）在

上为减函数，在

上为增函数
当a＜0，函数f（x）=ax²﹣2x+1开口向下，对称轴为

∴函数f（x）在

上为增函数，在

上为减函数
（2）方程f（x）=ax²﹣2x+1=0，当a=0时，方程﹣2x+1=0有1个实根

，
当a≠0时，△=4﹣4a
①若△＜0，即a＞1时，方程ax²﹣2x+1=0没有实根
②若△=0，即a=1时，方程ax²﹣2x+1=0有1个实根x=1
③若△＞0，即a＜1，且a≠0时，方程ax²﹣2x+1=0有2个实根

综上：当a＞1时，方程f（x）=0没有实根
当a=0时，方程f（x）=0有1个实根

当a=1时，方程f（x）=0有1个实根x=1
当a＜1，且a≠0时，方程f（x）=0有2个实根

（3）当a≥1时，函数f（x）=ax²﹣2x+1开口向上，对称轴为

∴f（x）在区间[2，4]上为增函数
∴f（x）_min=f（2）=4a﹣3=5，得a=2

核心考点

试题【已知函数f（x）=ax2﹣2x+1，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）解关于x的方程f（x）=0；（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小】；主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知二次函数f（x）=ax²+x．
（1）设函数g（x）=（1﹣2t）x+t²﹣1，当a=1，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣2，4）内有两个相异的零点，求实数t的取值范围．
（2）当a＞0，求证对任意两个不等的实数x₁，x₂，都有

；
（3）若x∈[0，1]时，﹣1≤f（x）≤1，求实数a的取值范围．

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某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
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已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²﹣2ax+4（a≥1），

．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

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提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（II）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

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