题目

题型：解答题难度：一般来源：江西省月考题

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．
因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax²﹣（2+4a）x+3a．
① 由方程f（x）+6a=0得ax²﹣（2+4a）x+9a=0．
② 因为方程②有两个相等的根，
所以△=[﹣（2+4a）]²﹣4a·9a=0，即5a²﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣ 
由于a＜0，舍去a=1．将a=﹣ 代入①得f（x）的解析式 
（Ⅱ）由  及a＜0，
可得f（x）的最大值为 
就由 解得a＜﹣2﹣ 或﹣2+ ＜a＜0．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是