已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)-f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[-1,3]上的最大、最小值. |
∵f(0)=0,∴可设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0). ∵f(x+1)-f(x)=x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)-[ax2+bx]=x+1, 化为(2a-1)x+a+b-1=0. 此式对于任意实数x恒成立,因此,解得a=b=. ∴f(x)=x2+x. ∵f(x)=(x+)2-. ∴函数f(x)在区间[-1,-]上单调递减,在区间[-,3]上单调递增. ∵f(-1)=0,f(-)=-,f(3)=6. ∴函数f(x)在区间[-1,3]上的最大、最小值分别为6,-. |
核心考点
试题【已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)-f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[-1,3]上的最大、最小值.】;主要考察你对
二次函数的图象和性质等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x2-2ax+a-1在区间[0,1]上有最小值-2,求a的值. |
函数y=x2-4x+1,x∈[1,5]的值域是______. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx,(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有两个相等的实根. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n],若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由. |
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数的不动点,对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有相异不动点,实数a的取值范围是______. |
函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为( ) |