题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(sinx，cosx)，且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

的取值范围；
（2）求证|

a

+

b

|=2sin(x+

π

4

)；
（3）求函数f(x)=

a

•

b

-

2

|

a

+

b

|的取值范围．

答案

（1）∵

a

•

b

=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x  （2′）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]
∴

a

•

b

∈[0，1]（4′）
（2）证明：∵

a

+

b

=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴|

a

+

b

|=

2(cosx+sinx)2

（6"）
=

2[ 2 sin(x+ π 4 )]2

=2|sin(x+

π

4

)|
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）＞0，
∴2|sin(x+

π

4

)|=2sin（x+

π

4

），
∴|

a

+

b

|=2sin（x+

π

4

）．（8"）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）=

a

•

b

-

2

|

a

+

b

|
=sin2x-2

2

sin(x+

π

4

)
=2sinxcosx-2（sinx+cosx）（9"）
解法1：令t=sinx+cosx
∴sinx•cosx=

t2-1

2

   (1≤t≤

2

）
∴y=t²-1-2t（10"）
=（t-1）²-2
∴y∈[-2，1-2

2

]（12"）
解法2：f（x）=sin2x-2

2

sin(x+

π

4

)（9"）
=-cos[2(x+

π

4

)]-2

2

sin(x+

π

4

)
=2sin2(x+

π

4

)-2

2

sin(x+

π

4

)-1（10"）
∵

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
∴f（x）∈[-2，1-2

2

]（12"）