题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若m，n是关于x的方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是______．

答案

依方程有两个实根得到△=4a²-4（a+6）≥0，
即a²-a-6≥0，
∴a≤-2或a≥3，（3分）
由根与系数的关系得到m+n=2a，mn=a+6，
y=（m-1）²+（n-1）²=m²+n²-2（m+n）+2
=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2
=4a²-6a-10，
=4（a-

3

4

）²-

49

4

，
∴根据二次函数的性质知a=3时，y的最小值为8．（12分）
故答案为：8