题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
①求f(x)的解析式;
②是否存在正整数a,使f(x)的最大值为12?若存在求出a的值,若不存在说明理由.
答案
它关于直线x=1的对称点(2-x,f(x))在g(x)的图象上,
当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3,
∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3,
当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3,
又∵f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,
∴f(x)=2ax-4x3,
则f(x)=
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(2)假设存在正整数a,使函数f(x)的最大值为12,
又f(x)为偶函数,故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值
令f′(x)=2a-12x2=0,得x=
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若
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则
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故此时不存在符合题意的a,
若
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则f(x)在(0,1]上单调递增,
∴
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令2a-4=12,得a=8,
综上,存在a=8满足题意.
核心考点
试题【设函数f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.3 | B.2 | C.1 | D.0 |
(1)如果对任意x∈[1,2],f(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设实数p,q,r满足:p,q,r中的某一个数恰好等于a,且另两个恰为方程f(x)=0的两实根,判断①p+q+r,②p2+q2+r2,③p3+q3+r3是否为定值?若是定值请求出:若不是定值,请把不是定值的表示为函数g(a),并求g(a)的最小值;
(3)对于(2)中的g(a),设H(a)=-
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