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题目
题型:解答题难度:一般来源:朝阳区一模
已知数列{an}的前n项为和Sn,点(n,
Sn
n
)
在直线y=
1
2
x+
11
2
上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9项和为153.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=
3
(2an-11)(2bn-1)
,数列{cn}的前n和为Tn,求使不等式Tn
k
57
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
答案
(Ⅰ)由题意,得
Sn
n
=
1
2
n+
11
2
,即Sn=
1
2
n2+
11
2
n

故当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(
1
2
n2+
11
2
n)-[
1
2
(n-1)2+
11
2
(n-1)]=n+5

注意到n=1时,a1=S1=6,而当n=1,n+5=6,
所以,an=n+5(n∈N*).
又bn+2-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),
所以{bn}为等差数列,于是
9(b3+b7)
2
=153

b3=11,故b7=23,d=
23-11
7-3
=3

因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N*).
(Ⅱ)cn=
3
(2an-11)(2bn-1)
=
3
[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

所以,Tn=c1+c2+…+cn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)++(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]

=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

由于Tn+1-Tn=
n+1
2n+3
-
n
2n+1
=
1
(2n+3)(2n+1)
>0

因此Tn单调递增,故(Tn)min=
1
3

1
3
k
57
,得k<19,所以Kmax=18
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项为和Sn,点(n,Snn)在直线y=12x+112上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9项和】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系中,若点A、B同时满足
(1)点A、B都在函数y=f(x)的图象上;
(2)点A、B关于原点对称.则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”).若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,则a的取值范围为______.
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设函数f(x)=1-e-x,函数g(x)=
x
ax+1
(其中a∈R,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N*,求证:e2n-
n


k=1
4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
(其中e是自然对数的底数).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列各函数中为奇函数的是(  )
A.y=x+3B.y=x2+xC.y=|x-1|-|x+1|D.y=-|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
己知f(x)在(-1,1)上有定义,f(
1
2
)=-1,且满足x.,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f(
x+y
1-xy
)

(I)判断为f(x)在(-1,1)上的奇偶性:
(II)对数列x1=
1
2
,xn+1=
2xn
1+xn2
,求f(xn
(111)求证:
1
f(x1)
+
1
fx2)
+…+
1
f(xn)
>-
2n+5
n+2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),给出以下命题:
①函数f(x)是周期为2的周期函数;            
②函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③函数f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)对称;
④若函数f(x)是(0,1)上的增函数,则f(x)是(3,5)上的增函数,其中正确命题有______.
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