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题目
题型:解答题难度:一般来源:宁夏
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>
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,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9.
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:

魔方格

所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.
(2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.
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<a≤1
,则f′(x)在[1,4a]上是增函数,
从而(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a2,最大值是f′(4a)=15a2
由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,于是有(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a.
由f′(1)≥-12a得-
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≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤
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.

所以a∈(
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,1]∩[-
1
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,1]∩[0,
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]
,即a∈(
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]

若a>1,则∵|f′(a)|=15a2>12a.故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立.
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(
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].
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a>14,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=lnx+2-x,若x>0,f(x)<a2恒成立,则实数a的取值范围是______.
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函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)当x∈(0,  
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)
时,f(x)+2<a恒成立,求a的取值范围.
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已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠1)有4个零点,则k的取值范围是______.
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已知函数f(x)=
x
1+|x|
,若f(msinθ)+f(1-m)>0对θ∈[0,
π
2
]
恒成立,则实数m的取值范围是______.
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设二(x)是连续的偶函数,且当x>0时,二(x)是单调的函数,则满足二(x)=二(
x+3
x+4
)
的所有的x的和为______.
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