题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x+x-3．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）求证：方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．

答案

解  （1）因为函数f（x）是实数集R上的奇函数，所以对任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x）．
所以f（-1）=-f（1）．
因为当x＞0时，f（x）=log₂x+x-3，所以f（1）=log₂1+1-3=-2．
所以 f（-1）=-f（1）=2．                           …（3分）
（2）当x=0时，f（0）=f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；
当x＜0时，-x＞0，所以f（-x）=log₂（-x）+（-x）-3=log₂（-x）-x-3．
所以-f（x）=log₂（-x）-x-3，从而f（x）=-log₂（-x）+x+3．
所以f（x）=

-log2(-x)+x+3，x＜0 0，x=0 log2x+x-3，x＞0

（6分）          
（3）证明：因为f（2）=log₂2+2-3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2．
又方程f（x）=0可化为log₂x=3-x．
设函数g（x）=log₂x，h（x）=3-x．
由于g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，h（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，
所以，方程g（x）=h（x） 在区间（0，+∞）上只有一个解．
所以，方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有唯一解．                          …（10分）
说明：指出有解（2分），指出单调性（2分）．