若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，求该函数的解析式． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，求该函数的解析式．

答案

∵f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，
∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），
∴bx²-2ax-abx+2a²=bx²+2ax+abx+2a²，
∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，
∴a=0或2+b=0．
若a=0，则f（x）=bx²，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，
所以a≠0，故b+2=0，
∴b=-2，
所以f（x）=-2x²+2a²，
∵-2x²≤0，
所以值域是f（x）≤2a²，
∴2a²=4，
即f（x）=-2x²+4．

核心考点

试题【若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，求该函数的解析式．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

若函数f(x)=a-

2x+1

(x∈R) 是奇函数，则实数a 的值为______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知f（x）是二次函数，对任意x∈R都满足f（x+1）-f（x）=-2x+1，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象恒在y=-x+m的图象下方，求实数m的取值范围；
（3）如果m∈[-1，1]时，不等式f（x）＞mx+1恒成立，求实数x的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=

x+1

（a为非零常数），定义：f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f[f_k（x）]，k∈N^*，例如：f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…
（1）当a=2时，求f2(1)，f3(-

)的值；
（2）若对于任意x≠-1，等式f₂（x）=x恒成立，求a的值；
（3）当a确定后，f_k（x），k∈N^*的值都由x的值确定．当a=2时，试通过对f_k（x）的探究，写出一个使得集合{f_k（x）}为有限集的真命题（不必证明）．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知下列函数①y=4x²②y=x

③y=x²-4x④y=|x+

|⑤y=-

x-2

⑥y=2^|x|．其中在其定义域上是偶函数，又在区间（1，+∞）上单调递增函数的有______（写出你认为正确的所有答案）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

若定义在（-5，log₂a²）上的函数y=f（x）是偶函数，则实数a=______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

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