题目
题型:解答题难度:一般来源:大连模拟
(I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;
(II)若不等式(1+
1 |
n |
答案
2[ln(1+x)-x] |
1+x |
设g(x)=ln(1+x)-x,x∈[0,1)
g′(x)=
1 |
1+x |
函数g(x)在x∈(0,1)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,
∴f"(x)<0在x∈(0,1)上恒成立,
∴函数f(x)在x∈(0,1)上单调递减.(4分)
(II)不等式(1+
1 |
n |
a |
2 |
1 |
n |
由1+
1 |
n |
a |
2 |
1 | ||
ln(1+
|
设G(x)=
1 |
ln(x+1) |
1 |
x |
G′(x)=-
1 |
(1+x)ln2(1+x) |
1 |
x2 |
(1+x)ln2(1+x)-x2 |
x2(1+x)ln2(1+x) |
设h(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2(x∈[0,1])(8分)
h"(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x,
由(I)知x∈(0,1)时,h"(x)<h"(0)=0
∴函数h(x)在x∈(0,1)上单调递减,
h(x)<h(0)=0
∴G"(x)<0,∴函数G(x)在x∈(0,1]上单调递减.
∴G(x)≥G(1)=
1 |
ln2 |
故函数G(x)在({0,1}]上的最小值为G(1)=
1 |
ln2 |
即
a |
2 |
1 |
ln2 |
∴a的最大值为
2 |
ln2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x.(I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减;(II)若不等式(1+1n)2n+a≤e2对任意的】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)己知f(x)=x3-3x2+2x+2,求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;
(3)对于任意的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)写出一个有关“拐点”的结论(不必证明).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅲ)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
a |
x |
(Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以函数y=F(x)(0<x≤3)图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线斜率k≤
1 |
2 |
(1)若a=-2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<-2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.
(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的最大值;
(2)已知y=f(x)在x∈[1,+∞)上恒有f(x)<0,求a的取值范围;
(3)求证:
12+1+1 |
12+1 |
22+2+1 |
22+2 |
32+3+1 |
32+3 |
n2+n+1 |
n2+n |
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