题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)己知f(x)=x3-3x2+2x+2,求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;
(3)对于任意的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)写出一个有关“拐点”的结论(不必证明).
答案
由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).
而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2
=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f(1),
由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称.
(3)一般地,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)的“拐点”是(-
b |
3a |
b |
3a |
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数;都对.)
核心考点
试题【对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)f(x)的导数f′(x)(也叫f(x)一阶导数)的导数,f″(x)为f(x)的二阶导数,若】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅲ)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
a |
x |
(Ⅰ)当a=1时,求函数F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以函数y=F(x)(0<x≤3)图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线斜率k≤
1 |
2 |
(1)若a=-2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a<-2时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.
(1)当a=1时,求f(x)在定义域上的最大值;
(2)已知y=f(x)在x∈[1,+∞)上恒有f(x)<0,求a的取值范围;
(3)求证:
12+1+1 |
12+1 |
22+2+1 |
22+2 |
32+3+1 |
32+3 |
n2+n+1 |
n2+n |
1 |
2 |
(I)求函数f(x)的导函数f′(x)的最小值;
(II)当a=3时,求函数h(x0的单调区间及极值;
(III)若对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,函数h(x)满足
h(x1)-h(x2) |
x1-x2 |
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