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题目
题型:解答题难度:一般来源:湖北
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(I) f"(x)=3x2+4ax+b,g"(x)=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f"(2)=g"(2)=1.
由此得





8+8a+2b+a=0
12+8a+b=1
,解得





a=-2
b=5

所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>-
1
4

又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(-
1
4
,0).
核心考点
试题【设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且f(1)=8,则f(2008)+f(2009)+f(2010)的值为(  )
A.2B.4C.6D.8
题型:单选题难度:一般| 查看答案
是否存在实数a,使函数f(x)=log2(x+


x2+2
)-a
为奇函数,同时使函数g(x)=x(
1
ax-1
+a)
为偶函数,证明你的结论.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=f(x)是偶函数,x∈R,在x<0时,y=f(x)是增函数,对于x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则(  )
A.f(-x1)>f(-x2B.f(-x1)<f(-x2C.f(-x1)=f(-x2D.f(-x1)≥f(-x2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D.若对任意的x∈D,都有f(f(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.
(1)判断函数f(x)=-x+1和g(x)=2x-1是否是集合M的元素,并说明理由;
(2)设函数f(x)=log2(1-2x),试求函数f(x)的反函数f-1(x),并证明f-1(x)∈M;
(3)若f(X)=
ax
x+b
∈M
(a,b为常数且a>0),求使f(x)<1成立的x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x-2),当x>-2时,f(x)=ex+1-2(e为自然对数的底数),若存在k∈Z,使方程f(x)=0的实数根x0∈(k-1,k),则k的取值集合是(  )
A.{0}B.{-3}C.{-4,0}D.{-3,0}
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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