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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(1)若a=0,求f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.
答案
f(x)的定义域为(0,+∞).                                         …1分
(Ⅰ)当a=0时,f(x)=xlnx,f"(x)=1+lnx.                               …2分
令f"(x)>0,解得x>
1
e

令f"(x)<0,解得0<x<
1
e

从而f(x)在(0,
1
e
)
单调递减,在(
1
e
,+∞)
单调递增.
所以,当x=
1
e
时,f(x)取得最小值-
1
e
.                                      …4分
(Ⅱ)依题意,得f(x)≥-1在[1,+∞)上恒成立,即f(x)=xlnx+ax≥-1成立,
即不等式a≥-(lnx+
1
x
)
对于x∈[1,+∞)恒成立.
g(x)=lnx+
1
x
,则g′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2

当x>1时,因为g′(x)=
x-1
x2
>0

故g(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以 g(x)的最小值是g(1)=1,从而-g(x)的最大值是-g(1)=-1. …8分
所以a的取值范围是[-1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).(1)若a=0,求f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥-1成立,求实数a的取值范围.】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)确定f(x)的单调区间;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k2-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
1
x3
-x
的图象关于(  )
A.y轴对称B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称D.直线y=x对称
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x3
a2
图象上斜率为3的两条切线间的距离为
2


10
5
,函数g(x)=f(x)-
3bx
a2
+3

(1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式;
(2)若函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,且b2-mb+4≥g(x)在x∈[-1,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+
3x

)
,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知x=1为函数f(x)=(x2-ax+1)ex的一个极值点.
(1)求a及函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[-2,2],t∈[1,2],f(x)≥t2-2mt+2恒成立,求m取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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