题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b
（1）令F(x)=

f(x)

g(x)

，当a、b、c满足什么条件时，F（x）为奇函数？
（2）令G（x）=f（x）-g（x），若a＞b＞c，且f（1）=0
（Ⅰ）求证函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B；
（Ⅱ）求|AB|的取值范围．

答案

（1）∵F（x）为奇函数，∴F（-x）=-F（x）；
∴

f(-x)

g(-x)

= -

f(x)

g(x)

⇒

a(-x)2-bx+c

-ax+b

=-

ax2+bx+c

ax+b

整理可得bc=0
bc=0，F（x）为奇函数
（2）（I）∵f（1）=a+c+b=0，a＞b＞c∴a＞0＞c
∵G（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c
∴△=（b-a）²-4ac＞0
∴G（x）=0有两个根，函数G（x）的图象与x轴必有两个交点A、B
（II）设A（x₁，0） B（x₂，0）
∴|AB|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c a

=

4+ ( c a ) 2

＞2