题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a²．

答案

（1）当a=0时，
f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
当a≠0时，f（a）=0且f（-a）=-2a|a|．
故f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a）．
∴f（x）是非奇非偶函数．
（2）由题设知x|x-a|≥2a²，
∴原不等式等价于

x＜a -x2+ax≥2a2

①
或

x≥a x2-ax≥2a2.

②
由①得

x＜a x2-ax+2a2≤0.

x∈∅．
由②得

x≥a (x-2a)(x+a)≥0.

当a=0时，x≥0．
当a＞0时，

x≥a x≤2a或x≥-a

∴x≥2a．
当a＜0时，

x≥a x≥2a或x≤-a

即x≥-a．
综上
a≥0时，f（x）≥2a²的解集为{x|x≥2a}；
a＜0时，f（x）≥2a²的解集为{x|x≥-a}．