题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）已知f（3）=12，集合A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=

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 }，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

答案

（I）∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
再令y=-x  可得f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x）
∴f （ x ）是定义在R上的奇函数．
（II）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＞0
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函数满足f（x₂）＞f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）单调增函数
（III）∵f（3）=12，∴f（1+1+1）=3f（1）=12，可得f（1）=4
∵A={（x，y）|f（x²）+f（y²）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=

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 }，若A∩B≠∅，
∴集合A表示的图形是单位圆：x²+y²=1，点P（x，y）在单位圆x²+y²=1上，
且单位圆x²+y²=1与直线x+ay=

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有至少一个公共点
∴

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1+a2

≤1，解之得a≤-2或a≥2．