题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)(i) 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0,
π |
4 |
(ii)证明函数y=sinx是区间(0,
π |
4 |
(2)证明:对任意的一次函数f(x)=kx+b(k>0),必存在一个区间D⊆[0,+∞),使f(x)为D上的“偏增函数”.
答案
π |
4 |
记f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,显然f1(x)=sinx在(0,
π |
4 |
π |
4 |
且f2(x)=cosx∈(
| ||
2 |
又y=f(x)=sinx+cosx=
2 |
π |
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π |
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故y=sinx+cosx是区间(0,
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(ii)证明:y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=
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记f1(x)=
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显然f1(x)=
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且f2(x)=cosx∈(
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2 |
又y=f(x)=f1(x)+f2(x)=sinx在(0,
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故y=sinx是区间(0,
π |
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(2)证明:①当b>0时,令f1(x)=(k+1)x,f2(x)=-x+b,D=(0,b),显然D=(0,b)⊆[0,+∞),
∵k>0,∴f(x)=kx+b在(0,b)上单调递增,
f1(x)=(k+1)x在(0,b)上单调递增,f2(x)=-x+b在(0,b)上单调递减,
且对任意的x∈(0,b),b>f2(x)>f2(b)=0,
因此b>0时,必存在一个区间(0,b),使f(x)=kx+b(k>0)为D上的“偏增函数.
②当b≤0时,取c>0,且满足c+b>0,令f1(x)=(k+1)x-c,f2(x)=-x+b+c,D=(0,b+c)⊆[0,+∞),
显然,f(x)=kx+b在(0,b+c)上单调递增,
f1(x)=(k+1)x-c在(0,b+c)上单调递增,f2(x)=-x+b+c在(0,b+c)上单调递减,
且对任意的(0,b+c),b+c>f2(x)>f2(b+c)=0,
因此b≤0时,必存在一个区间(0,b+c),使f(x)=kx+b(k>0)为D上的“偏增函数”.
综上,对任意的一次函数f(x)=kx+b(k>0),必存在一个区间D⊆[0,+∞),
使f(x)为D上的“偏增函数”.
核心考点
试题【已知函数f(x)是区间D⊆[0,+∞)上的增函数,若f(x)可表示为f(x)=f1(x)+f2(x),且满足下列条件:①f1(x)是D上的增函数;②f2(x)是】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≤-2c2恒成立,求c的取值范围.
a |
x |
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性(直接写出你的结论)
(Ⅱ)若f(x)在[2,+∞)是增函数,求实数a的范围.
A.{x|x>1} | B.{x|0<x<
| ||||
C.{x|0<x<
| D.{x|0<x<
|
2x-1 |
2x+1 |
A.奇函数 | B.偶函数 |
C.既是奇函数又是偶函数 | D.非奇非偶函数 |
A.增函数,且最小值为-3 | B.增函数,且最大值为-3 |
C.减函数,且最小值为-3 | D.减函数,且最大值为-3 |
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