题目

题型：解答题难度：一般来源：安徽模拟

定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f"（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为ϕ函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的ϕ函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n）

答案

证明：（Ⅰ）∵f（x）=e^xlnx，
∴f′(x)=exlnx+

ex

x

，
因为x＞0，
所以

ex

x

＞0，
所以f"（x）＞f（x）
所以函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．…（6分）
（Ⅱ）构造函数g(x)=

f(x)

ex

，g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
即g（x）在R上递增，…（8分）
所以g（ln（x₁+x₂+…x_n））＞g（lnx₁），g（lnx₁），g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₂），…，g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx_n）
得到

x1f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx1)

x2f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx2)
…

xnf(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnxn)
相加后，得到：f（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞f（lnx₁）+f（lnx₂）+…+f（lnx_n）．…（12分）