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题目
题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
定义:对于函数f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f"(x)对定义域内的x恒成立,则称函数f(x)为ϕ函数.
(Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.
(Ⅱ)对于定义域为(0,+∞)的ϕ函数f(x),求证:对于定义域内的任意正数x1,x2,…,xn,均在f(1n(x1+x2+…+xn))>f(1nx1)+f(1nx2).+…+f(1nxn
答案
证明:(Ⅰ)∵f(x)=exlnx,
f′(x)=exlnx+
ex
x

因为x>0,
所以
ex
x
>0

所以f"(x)>f(x)
所以函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.…(6分)
(Ⅱ)构造函数g(x)=
f(x)
ex
,g′(x)=
f′(x)-f(x)
ex
>0

即g(x)在R上递增,…(8分)
所以g(ln(x1+x2+…xn))>g(lnx1),g(lnx1),g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnx2),…,g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnxn
得到
x1f(ln(x1+x2+…+xn))
x1+x2+…+xn
>f(lnx1)
x2f(ln(x1+x2+…+xn))
x1+x2+…+xn
>f(lnx2)

xnf(ln(x1+x2+…+xn))
x1+x2+…+xn
>f(lnxn)

相加后,得到:f(ln(x1+x2+…+xn))>f(lnx1)+f(lnx2)+…+f(lnxn).…(12分)
核心考点
试题【定义:对于函数f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f"(x)对定义域内的x恒成立,则称函数f(x)为ϕ函数.(Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.(Ⅱ)对】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
设f(x)是以4为周期的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x,则f(7.6)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则实数b等于(  )
A.1B.0C.-1D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[-1,1]).
(1)若t>0,求f(x)的最小值h(t);
(2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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