题目
题型:解答题难度:一般来源:安徽模拟
(Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.
(Ⅱ)对于定义域为(0,+∞)的ϕ函数f(x),求证:对于定义域内的任意正数x1,x2,…,xn,均在f(1n(x1+x2+…+xn))>f(1nx1)+f(1nx2).+…+f(1nxn)
答案
∴f′(x)=exlnx+
ex |
x |
因为x>0,
所以
ex |
x |
所以f"(x)>f(x)
所以函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.…(6分)
(Ⅱ)构造函数g(x)=
f(x) |
ex |
f′(x)-f(x) |
ex |
即g(x)在R上递增,…(8分)
所以g(ln(x1+x2+…xn))>g(lnx1),g(lnx1),g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnx2),…,g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnxn)
得到
x1f(ln(x1+x2+…+xn)) |
x1+x2+…+xn |
x2f(ln(x1+x2+…+xn)) |
x1+x2+…+xn |
…
xnf(ln(x1+x2+…+xn)) |
x1+x2+…+xn |
相加后,得到:f(ln(x1+x2+…+xn))>f(lnx1)+f(lnx2)+…+f(lnxn).…(12分)
核心考点
试题【定义:对于函数f(x),x∈M⊆R,若f(x)<f"(x)对定义域内的x恒成立,则称函数f(x)为ϕ函数.(Ⅰ)证明:函数f(x)=ex1nx为ϕ函数.(Ⅱ)对】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.0 | C.-1 | D.2 |
(1)若t>0,求f(x)的最小值h(t);
(2)对于(1)中的h(t),若t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.
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