题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北模拟

已知函数f（x）=x³+bx²+（b²-1）x+1图象的对称中心为（0，1）；函数g(x)=ax3+

1

2

sinθ•x2-2x在 区间[-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）设φ（x）=f（x）-g（x），试证：对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．

答案

（Ⅰ）由题意知，f（x）+f（-x）=2，
即x³+bx²+（b²-1）x+1-x³+bx^2-（b²-1）x+1=2，解得b=0．
（Ⅱ）g"（x）=3ax²+sinθ•x-2
由

g′(2)≤0 g′(1)=0

⇒

12a-2sinθ-2≤0 3a+sinθ-2=0

，消去a可得sinθ≥1，
从而sinθ=1，a=

1

3

，
∴sinθ=1，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x．
（Ⅲ）证明：φ(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2+x+1
∴φ"（x）=2x²-x+1=2(x-

1

4

)2+

7

8

．
对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，
|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|⇔|φ"（x）|＞2．
而在（1，+∞）上，φ"（x）＞φ"（1）=2×

9

16

+

7

8

=2
∴对任意的x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，都有|φ（x₂）-φ（x₁）|＞2|x₂-x₁|．