已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a为实数. (1)设t>0为常数,求函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值; (2)若对一切x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. |
(1)f"(x)=lnx+1, 当x∈(0,),f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增 ①0<t<t+2<,没有最小值; ②0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-; ③≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;(5分) 所以f(x)min= (2)由已知, 2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+, 设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=, ①x∈(0,1),h"(x)<0,h(x)单调递减, ②x∈(1,+∞),h"(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, 所以a≤h(x)min=4; |
核心考点
试题【已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a为实数.(1)设t>0为常数,求函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值;(2)若对一切x∈(0】;主要考察你对
函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=2x-. (1)设集合A={x|f(x)≤},B={x|x2-6x+p<0},若A∩B≠∅,求实数p的取值范围; (2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(0),f(1),f(-)的大小关系为______. |
已知f(x)=()2(x>1), (1)若g(x)=++2,求g(x)的最小值; (2)若不等式(1-)•f-1(x)>m•(m-)对于一切x∈[,]恒成立,求实数m的取值范围. |
已知二次函数f(x)=ax2-bx+1. (1)若f(x)<0的解集是(,),求实数a,b的值; (2)若a+b+2=0,且函数f(x)>3x+1,x∈(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ln(ex+a)(e是自然对数的底数,a为常数)是实数集R上的奇函数,若函数g(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0,+∞)上有两个零点,则实数m的取值范围是( )A.(,e2+) | B.(0,e2+) | C.(e2+,+∞) | D.(-∞,e2+) |
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