题目

题型：解答题难度：困难来源：0103 月考题

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)| ≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。已知函数；
（1）当a=1时，求函数f(x)在(-∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(-∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f(x)在[-∞，0)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）试定义函数的下界，举一个下界为3的函数模型，并进行证明。

答案

解：（1）当a=1时，，
∵f(x)在(-∞，0)上递减，所以，即f(x)在(-∞，0)的值域为(3，+∞)，
故不存在常数M＞0，使成立，
所以，函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数。
（2）由题意，在[1，+∞)上恒成立，，
，
∴在[0，+∞)上恒成立，
∴，
设，，，
由x∈[0，+∞)，得t≥1，设，
，，
所以，h(t)在[1，+∞)上递减，p(t)在[1，+∞)上递增，
h(t)在[1，+∞)上的最大值为h(1)=-5，p(t)在[1，+∞)上的最小值为p(1)=1，
所以实数的取值范围为[-5，1]。
（3）定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意，存在常数M＞0，都有成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界。
例如，有；
证明：，
∴命题成立。