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题目
题型:解答题难度:一般来源:江苏
设a为实数,设函数f(x)=a


1-x2
+


1+x
+


1-x
的最大值为g(a).
(Ⅰ)设t=


1+x
+


1-x
,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)试求满足g(a)=g(
1
a
)
的所有实数a
答案
(I)t=


1+x
+


1-x

要使有t意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1,
t2=2+2


1-x2
∈[2,4]
,t≥0①
t的取值范围是[


2
,2].

由①得


1-x2
=
1
2
t2-1

∴m(t)=a(
1
2
t2-1
)+t=
1
2
at2+t-a,t∈[


2
,2]


(II)由题意知g(a)即为函数m(t)=
1
2
at2+t-a,t∈[


2
,2]
的最大值.
注意到直线t=-
1
a
是抛物线m(t)=
1
2
at2+t-a
的对称轴,
分以下几种情况讨论.
(1)当a>0时,函数y=m(t),t∈[


2
,2]
的图象是开口向上的抛物线的一段,
t=-
1
a
<0知m(t)在[


2
,2].
上单调递增,
∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时,m(t)=t,t∈[


2
,2]

∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t),t∈[


2
,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段,
t=-
1
a
∈[0,


2
]
,即a≤-


2
2
g(a)=m(


2
)=


2

t=-
1
a
∈(


2
,2]
,即-


2
2
<a≤-
1
2
g(a)=m(-
1
a
)=-a-
1
2a

t=-
1
a
∈(2,+∞)
,即-
1
2
<a<0
则g(a)=m(2)=a+2
综上有g(a)=





a+2          a>-
1
2
-a-
1
2a
-


2
2
<a< -
1
2


2
a≤-


2
2


(III)情形1:当a<-2时
1
a
>-
1
2

此时g(a)=


2
g(
1
a
)=
1
a
+2

2+
1
a
=


2
解得a=-1-


2
2
,与a<-2矛盾.
情形2:当-2≤a<-


2
-


2
2
1
a
≤-
1
2
时,
此时g(a)=


2
g(
1
a
)=-
1
a
-
a
2


2
=-
1
a
-
a
2

解得,a=-


2
a<-


2
矛盾.
情形3:当-


2
≤a≤-


2
2
-


2
1
a
≤-


2
2
时,
此时g(a)=


2
=g(
1
a
)

所以-


2
≤a≤-


2
2

情形4:当-


2
2
<a≤-
1
2
时,-2≤
1
a
<-


2

此时g(a)=-a-
1
2a
g(
1
a
)=


2
-a-
1
2a
=


2

解得a=-


2
2
,与a>-


2
2
矛盾.
情形5:当-
1
2
<a<0
时,
1
a
<-2

此时g(a)=a+2,g(
1
a
)=


2

a+2=


2
解得a=


2
-2,与a>-
1
2
矛盾.
情形6:当a>0时,
1
a
>0

此时g(a)=a+2,g(
1
a
)=
1
a
+2

a+2=
1
a
+2解得a=±1
,由a>0得a=1.
综上知,满足g(a)=g(
1
a
)
的所有实数a为:-


2
≤a≤-


2
2
,或a=1
核心考点
试题【设a为实数,设函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a).(Ⅰ)设t=1+x+1-x,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t)(Ⅱ)求】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=-
x3
3
+x2-3x+
1
3
-cosx,x∈(-∞,3]
,若f(m2-sinx)≤f(m+1+cos2x)对x∈R恒成立,实数m的取值范围是______
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(2+x)=f(2-x).
(Ⅰ)证明:f(x+4)=f(x);
(Ⅱ)当x∈(4,6)时,f(x)=
x2-x-2
x-3
.讨论函数f(x)在区间(0,2)上的单调性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(8.5)等于(  )
A.-0.5B.0.5C.-1.5D.1.5
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)=





f(x+1),x<4
(
1
2
)x,x≥4
,则f(log23)=(  )
A.
1
12
B.
1
24
C.
1
4
D.
1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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