题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3），
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；
（4）求函数的值域．

答案

：（1）证明∵x∈[-3，3]，
∴f（x）的定义域关于原点对称．
f（-x）=（-x）²-2|-x|-1
=x²-2|x|-1=f（x），
即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．

（2）当x≥0时，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
当x＜0时，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，
即f（x）=

(x-1)2=2      (0≤x≤3) (x+1)2-2      (-3≤x≤0)

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．

（3）函数f（x）的单调区间为[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在区间[-3，-1）和[0，1）上为减函数，在[-1，0），[1，3]上为增函数．
（4）当x≥0时，函数f（x）=（x-1）²-2的最小值为-2，最大值为f（3）=2；
当x＜0时，函数f（x）=（x+1）²-2的最小值为-2，最大值为f（-3）=2．故函数f（x）的值域为[-2，2]．