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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知:函数f(x)=ax+
b
x
+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4

(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,
1
2
)上的单调性并说明理由;
(Ⅲ)试求函数f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
即-ax-
b
x
+c+ax+
b
x
+c=0∴c=0
由f(1)=
5
2
,f(2)=
17
4
,得a+b=
5
2
,2a+
b
2
=
17
4
解得a=2,b=
1
2

∴a=2,b=
1
2
,c=0
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x+
1
2x
,∴f′(x)=2-
1
2x2

当x∈(0,
1
2
)时,0<2x2
1
2
1
2x2
>2
∴f′(x)<0,即函数f(x)在区间(0,
1
2
)上为减函数.
(Ⅲ)由f′(x)=2-
1
2x2
=0,x>0得x=
1
2

∵当x>
1
2
1
2x2
<2,
∴f′(x)>0,
即函数f(x)在区间(
1
2
,+∞)上为增函数.在(0,
1
2
)上为减函数.
所以f(x)的最小值=f(
1
2
)=2.
核心考点
试题【已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax2-2


4+2b-b2
x,g(x)=-


1-(x-a)2
,(a,b∈R)
(Ⅰ)当b=0时,若f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对(a,b):当a是整数时,存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值.
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已知f(sinα-cosα)=sin2α,则f(-1)-f(0)=______.
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设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值.
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已知函数f(x)=





log4xx>0
3xx≤0
,则f[f(
1
16
)]
=______.
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已知函数f(x)=
1
x2
+1

(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.
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