题目
题型:解答题难度:一般来源:湖南
1 |
2 |
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
答案
1 |
2 |
则h′(x)=
1 |
x |
ax2+2x-1 |
x |
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以h"(x)<0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-1<a<0.
综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(II)设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为x=
x1+x2 |
2 |
C1在点M处的切线斜率为k1=
1 |
x |
x1+x2 |
2 |
2 |
x1+x2 |
C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b,x=
x1+x2 |
2 |
a(x1+x2) |
2 |
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2.
即
2 |
x1+x2 |
a(x1+x2) |
2 |
则
2(x2-x1) |
x1+x2 |
=
a |
2 |
=
a |
2 |
a |
2 |
=y2-y1
=lnx2-lnx1.
所以ln
x2 |
x1 |
2(
| ||
1+
|
x2 |
x1 |
2(t-1) |
1+t |
令r(t)=lnt-
2(t-1) |
1+t |
1 |
t |
4 |
(t+1)2 |
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
因为t>1时,r"(t)>0,所以r(t)在[1,+∞)上单调递增.故r(t)>r(1)=0.
则lnt>
2(t-1) |
1+t |
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx,a≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅱ)设函数f(x】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求实数k的值.
(2)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集.
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(1)当a=2时,求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)设a>1,函数h(x)=f(x)g(x),求h(x)在x∈[1,2]上的最小值.
(1)求实数k的值;
(2)若a>1,判断函数的单调性(不需要证明);
(3)若a>1,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集.
1-x2 |
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