题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=a^x-a^-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t²）＜0，求实数t的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（Ⅱ）函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x₁＜x_2，
则f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)
=(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因为x₁＜x₂，又a＞1，所以ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）为R上的增函数
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．
解得　t＜-2，或t＞1