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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=log2(x+1)-log2(x-1).
(1)求函数f(x)的奇偶性
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)的增减性,并进行证明;
(3)若x∈(3,+∞)时,不等式f(x)<2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)f(x)=log2(x+1)-log2(x-1).
定义域为(1,+∞)不关于原点对称
故函数f(x)为非奇非偶函数
(2)f(x)=log2(x+1)-log2(x-1)=log2 
x+1
x-1
(x>1)
令g(x)=
x+1
x-1
=1+
2
x-1
,设x1>x2>1
则g(x1)-g(x2)=1+
2
x1-1
-(1+
2
x2-1
)
=
2(x2-x1
(x1-1) (x2-1)

∵x1>x2>1
∴g(x1)-g(x2)<0
∴函数f(x)在(1,+∞)单调递减
(3)若x∈(3,+∞)时,不等式f(x)<2x+m恒成立,
则m>[f(x)-2x]max=[log2 
x+1
x-1
-2x]max
log2 
x+1
x-1
-2x在(3,+∞)上单调递减
∴[log2 
x+1
x-1
-2x]<-7
∴实数m的取值范围是m≥-7
核心考点
试题【设函数f(x)=log2(x+1)-log2(x-1).(1)求函数f(x)的奇偶性(2)判断函数f(x)在(1,+∞)的增减性,并进行证明;(3)若x∈(3,】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)都任意的a、b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且x>0时,f(x)>1.
(1)判定f(x)在R上的单调性;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
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已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+2),当x>1时,f(x)单调递减,如果1+x1x2<x1+x2<2,则f(x1)+f(x2)的值(  )
A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负
题型:单选题难度:一般| 查看答案
判断函数f(x)=x+
1
x
(x≥1)
的单调性并给出证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=______
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0对任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(
x+1
2
)2

(1)求f(1)的值;
(2)证明:a>0、c>0;
(3)当x∈[-1,1]时,g(x)=f(x)-mx(m∈R)是单调的,求证:m≤0或m≥1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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