题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）都任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）判定f（x）在R上的单调性；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

答案

（1）任取x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0．
∵x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
因此，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3．
因此，f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＜2，化简得3m²-m-4＜0，解之得-1＜m＜

4

3

所以不等式f（3m²-m-2）＜3的解集为（-1，

4

3

）