题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)若对任意的实数a,函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;
(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。
答案
解析
试题分析:解:(Ⅰ)恒成立,恒成立即.
方法一:恒成立,则
而当时,
则,,在单调递增,
当,, 在单调递减,
则,符合题意.
即恒成立,实数的取值范围为;
方法二:,
(1)当时,,,,在单调递减,
当,,在单调递增,
则,不符题意;
(2)当时,,
①若,,,,单调递减;当,, 单调递增,则,矛盾,不符题意;
②若,
(Ⅰ)若,;;
,在单调递减,在单调递增,在单调递减,不符合题意;
(Ⅱ)若时,,,在单调递减,,不符合题意.
(Ⅲ)若,,,,,,,, 在单调递减,在单调递增,在单调递减,,与已知矛盾不符题意.
(Ⅳ)若,,,,在单调递增;
当,, 在单调递减,
则,符合题意;
综上,得恒成立,实数的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知,当时,有,;于是有 ,.
则当时,有
在上式中,用代换,可得
相乘得
点评:解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性,以及函数的最值,进而证明不等式,属于基础题。
核心考点
试题【已知函数,。(1)若对任意的实数a,函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数=
(I)求函数的最小值m;
(II)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
(1)若,,求证:;
(2)若实数满足.试求的取值范围.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求实数的取值范围。
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