题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
答案
解析
试题分析:(Ⅰ). 由,得,此时.
当时,,函数在区间上单调递增;
当时,,函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值,故. 3分
(Ⅱ)令, 4分
则.函数在上可导,存在,使得.又
当时,,单调递增,;
当时,,单调递减,;
故对任意,都有. 8分
(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,,且,,
,由(Ⅱ)得,即
,
当时,结论成立. 9分
②假设当时结论成立,即当时,
. 当时,设正数满足令,
则,且.
13分
当时,结论也成立.
综上由①②,对任意,,结论恒成立. 14分
点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、数学归纳法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.
核心考点
试题【理科已知函数,当时,函数取得极大值.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求实数的取值范围。
A.(-3,-1) | B.(-1,0) | C.(1,2) | D.(3,6) |
(1)当时,求在曲线上一点处的切线方程;
(2)求函数的极值点。
,则称为“好运”函数.给出下列函数:
①;②;③;④.
其中是“好运”函数的序号为 .
A.① ② | B.① ③ | C.③ | D.②④ |
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