题目

题型：解答题难度：一般来源：月考题

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表达式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）由f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
故f（x）的周期为4
（1）当x∈[3，5]时，x﹣4∈（﹣1，1]，
∴f（x﹣4）=（x﹣4）³
又T=4，
∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）³，
3≤x≤5
当x∈[1，3]时，x﹣2∈[﹣1，1]，
∴f（x﹣2）=（x﹣2）³
又f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）³，1≤x≤3，
故f（x）=
（2）∵f（x）是周期函数，
∴f（x）的值域可以从一个周期来考虑
x∈[1，3]时，f（x）∈（﹣1，1]
x∈[3，5]时，f（x）∈[﹣1，1]
∴f（x）＞a，对x∈R有空解，
∴a＜1