已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，则函数f（x）的解析式为（　　）A． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：单选题难度：一般来源：乐山模拟

已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，则函数f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）=4x²-4x+1	B．f（x）=4x²+1
C．f（x）=x²-5x-5	D．f（x）=x²+3x-3

答案

由题意得：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1中令y=1，
则有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
则f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
∴上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2×（x-1）+4（x-1）
=2×

(x-1)[1+(x-1)]

+4（x-1）
=x²+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x²+3x-4=x²+3x-3．
故选：D．

核心考点

试题【已知函数f（x）满足f（1）=1，对于任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，则函数f（x）的解析式为（　　）A．】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f（x）满足f(-1)=

，对任意x，y∈R有4f(

x+y

)f(

x-y

)=f(x)+f(y)，则f（-2012）______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）试举出满足条件的一个函数
（2）证明f（1）=0；
（3）讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

某玩具厂授权生产工艺品福娃，每日最高产量为30只，且每日生产的产品全部出售．已知生产x只福娃的成本为R（元），每只售价P（元），且R，P与x的表达式分别为R=50+3x，P=170-2x．当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(

)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论．

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