已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0（1）试举出 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）试举出满足条件的一个函数
（2）证明f（1）=0；
（3）讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

答案

解．（1）y=log₂^x．
（2）证明：因为对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．

（3）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f(x1)-f(x2)=f(

•x2)-f(x2)=f(

)+f(x2)-f(x2)=f(

)．
因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
所以f(

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

核心考点

试题【已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0（1）试举出】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

某玩具厂授权生产工艺品福娃，每日最高产量为30只，且每日生产的产品全部出售．已知生产x只福娃的成本为R（元），每只售价P（元），且R，P与x的表达式分别为R=50+3x，P=170-2x．当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(

)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数y=f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
②f（x-2）与f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
③若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；
④若f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设f(x)=

-log3(x+1)(x＞6)

3x-6-1(x≤6)

满足f(n)=-

，则f（n+4）=（　　）

A．2

B．-2

C．1

D．-1

题型：单选题难度：简单| 查看答案

最新试题

热门考点