题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期．

答案

（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=2f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令y=-x，
可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
有f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数、
（3）∵f（2c+x）+f（x）=2f(

2c+2x

2

)•f(

2c

2

)，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期为4c．