题目
题型:解答题难度:一般来源:武汉模拟
| |||
(1)求f(x)的定义域;
(2)求证:
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
2 |
3 |
(3)求证:数列{an}前n项和Sn≤
(3n+2)
| |||
2 |
3 |
2 |
答案
x2+
|
1 |
x |
∴
x3+1 |
x |
∴
(x+1)(x2-x+1) |
x |
∴
x+1 |
x |
故x>0,或x≤-1.
f(x)定义域为:(-∞,-1]∪(0,+∞).
(2)证明:∵an+12=an2+
1 |
an |
1 |
an |
于是有:
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
要证明:
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
2 |
3 |
只需证明:
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
下面使用数学归纳法证明:
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
①在n=1时,a1=1,
1 |
2 |
②假设n=k时,
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
由
a | 2k+1 |
a | 2k |
1 |
ak |
1 |
3 |
1 | ||||
|
2 |
3 |
2 | ||
k
|
要证明:4k
1 |
3 |
1 | ||||
|
2 |
3 |
只需2k+1≤
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
只需1≤4k2+2k,而4k2+2k≥1在k≥1时,恒成立,
于是ak+12=
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
3 |
又ak+12=ak2+
1 |
ak |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 | ||
2k
|
要证
1 |
4 |
2 |
3 |
1 | ||
2k
|
1 |
4 |
2 |
3 |
只需证:k+2≥k
1 |
3 |
2 |
3 |
只需证:4k2+11k+8>0,而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.
于是:
a | 2k+1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
因此
1 |
2 |
1 |
3 |
a | 2k+1 |
1 |
3 |
综合①②可知(*)式得证,从而原不等式成立.
(3)证明:要证明:Sn≤
(3n+2)
| |||
2 |
3 |
2 |
由(2)可知只需证:
3 | n |
(3n+2)
| |||
4 |
[3(n-1)+2]
| |||
4 |
下面用分析法证明:(**)式成立.
要使(**)成立,
只需证:(3n-2)
3 | n |
3 | n-1 |
即只需证:(3n-2)3n>(3n-1)3(n-1),
只需证:2n>1.
而2n>1在n≥1时显然成立,
故(**)式得证.
于是由(**)式可知有:
3 | 2 |
3 | 3 |
3 | n |
(3n+2)
| |||
4 |
5 |
4 |
因此有:Sn=a1+a2+…+an≤1+2(
3 | 2 |
3 | 3 |
3 | n |
(3n+2)
| |||
2 |
3 |
2 |
核心考点
试题【已知点(an,an-1)在曲线f(x)=( )x上,且a1=1.(1)求f(x)的定义域;(2)求证:14(n+1)23-1≤1a1+1a2+…+1an≤】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
log0.5(4-x) |
A.(-∞,4) | B.[3,4] | C.(3,4) | D.[3,4) |
-2x+a |
2x+1+b |
(1)当a=b=1时,证明:f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是实数集上的奇函数,求a与b的值;
(3)(理) 当f(x)是实数集上的奇函数时,证明对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
(4)(文)求(2)中函数f(x)的值域.
A.
| B.
| C.1 | D.2 |
A.f(x)=|x|+1 | B.f(x)=x2+sinx | C.f(x)=
| D.f(x)=-x3 |
1+x |
1-x |
(1)写出函数f(x)的定义域,并证明函数f(x)是奇函数;
(2)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并用函数单调性定义给出证明.
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