题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（a＞0）．
（1）若f（1）=0，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=

a

c2+4

+

c

a2+4

的最大值．

答案

解（1）∵f（1）=0，∴a-4+c=0，c=4-a，（1分）
∴不等式f（x）≥0即ax²-4x+c＞0，即a（x-1）（x-

4-a

a

）≥0．（3分）
①a＞2时，

4-a

a

＜1，不等式的解集为（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
②a=2时，

4-a

a

=1，不等式的解集为R；
③0＜a＜2时，

4-a

a

＞1，不等式的解集为（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
综上所述，不等式的解集为：a＞2时，不等式的解集为（-∞，

4-a

a

）∪[1，+∞）；
a=2时，不等式的解集为R；
0＜a＜2时，

4-a

a

＞1，不等式的解集为（-∞，1]∪[

4-a

a

，+∞）．
（2）f（x）的值域为[0，+∞），故

a＞0 △=(-4)2-4ac=0

，即

a＞0 ac=4

又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8（10分）
u=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a2+c2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

ac(a+c)

=

a+c

4

-

2

a+c

（12分）
由y=t-

1

2t

的单调性，u_max=

7

4

（16分）