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题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(
1
2
)1-x
,则其中所有正确命题的序号是______.
①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0; ④当x∈[3,4]时,f(x)=(
1
2
)x-3
答案
∵对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x)则f(x)的周期为2,故①正确;
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=(
1
2
)1-x

∴函数f(x)在(0,1)上是增函数,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;
∴函数f(x)的最大值是f(1)=1,最小值为f(0)=
1
2
,故③不正确;
设x∈[3,4],则4-x∈[0,1],f(4-x)=(
1
2
)
x-3
=f(-x)=f(x),故④正确;
故答案为:①②④
核心考点
试题【设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则其中所有正确命题的序号是】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)=log2x,当点M(x,y)在y=f(x)的图象上运动时,点N(x-2,ny)函数y=gn(x)的图象上运动(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表达式.
(2)若集合A={a|关于x的方程 4g1(x)=g2(x-2+a)有实根,a∈R},求集合A
(3)设Hn(x)=(
1
2
)gn(x)
,函数F(x)=H1(x)-g1(x)的定义域为0<a≤x≤b,值域为[log2
52

b+2
log2
42

a+2
]
,求实数a,b的值.
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给出函数封闭的定义:若对于定义域D内的任意一个自变量x0,都有函数值f(x0)∈D,称函数y=f(x)在D上封闭.
(1)若定义域D1=(0,1),判断函数g(x)=2x-1是否在D1上封闭,并说明理由;
(2)若定义域D2=(1,5],是否存在实数a,使得函数f(x)=
5x-a
x+2
在D2上封闭?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)利用(2)中函数,构造一个数列{xn},方法如下:对于给定的定义域D2=(1,5]中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述构造数列的过程中,如果xi(i=1,2,3,4…)在定义域中,构造数列的过程将继续下去;如果xi不在定义域中,则构造数列的过程停止.
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn},求实数a的取值范围.
②如果取定义域中任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn},求实数a的取值范围.
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若实数x,y满足条件x+3y-2=0,则z=1+3x+27y的最小值为______.
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求定义域:y=
1
2-|x|
+


x2-1
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=


x
+


4-x
的最大值与最小值的比值______.
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