题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求实数a，c的值；
（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．

答案

（1）由f（x）＜0，得：ax²-4x+c＜0，
不等式ax²-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax²-4x+c=0的两根是x₁=-1，x₂=5．
所以

4

a

=x1+x2=4，

c

a

=x1x2=-5
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x²-4x-5=（x-2）²-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数．
∴当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=-9．
而当x=0时，f（0）=（0-2）²-9=-5，当x=3时，f（3）=（3-2）²-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值为f（0）=-5．
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]．