题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求证:f(x)是R上的减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;
(4)若∀x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.
答案
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)为奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,
则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1),
又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).
故f(x)为R上的减函数;
(3)∵f(x)为R上的减函数,
∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6,
故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6.
故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6].
(3)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2),
可得f(ax2-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数,
所以ax2-2x>x-2即ax2-3x+2>0恒成立,
①当a=0时不成立,
②当a≠0时,有a>0且△<0,即
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9 |
8 |
故a的取值范围为(
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核心考点
试题【已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=|3x-1|+ax+3.
(1)若a=1,解不等式f(x)≤5;
(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.
x |
A.[1,+∞) | B.(0,+∞) | C.[0,+∞) | D.(-∞,+∞) |
1-x |
1+x |
(1)求函数f(x)的定义域D,并判断f(x)的奇偶性;
(2)用定义证明函数f(x)在D上是增函数;
(3)如果当x∈(t,a)时,函数f(x)的值域是(-∞,1),求a与t的值.
x |
(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数p的取值范围;
(2)如果数列{an}满足a1=3,an+1=[1+
1 |
n2(n+1)2 |
1 |
4n |
3 |
4 |
A.(-1,1) | B.(0,
| C.(-1,0) | D.(
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