当前位置:高中试题 > 数学试题 > 集合运算 > 对于集合M,定义函数fM(x)=-1,x∈M1,x∉M,对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)•fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10...
题目
题型:解答题难度:一般来源:海淀区一模
对于集合M,定义函数fM(x)=





-1,x∈M
1,x∉M
,对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)•fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.
(Ⅰ)写出fA(1)和fB(1)的值,并用列举法写出集合A△B;
(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数.
(ⅰ)求证:当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时,2∈X;
(ⅱ)求Card(X△A)+Card(X△B)的最小值.
答案
(Ⅰ)fA(1)=1,fB(1)=-1,
对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)•fN(x)=-1}.
A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}.
∴A△B={1,6,10,16}.…(3分)
(Ⅱ)设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时,X=W.
(ⅰ)证明:假设2∉W,令Y=W∪{2}.
那么 Card(Y△A)+Card(Y△B)
=Card(W△A)-1+Card(W△B)-1
<Card(W△A)+Card(W△B).这与题设矛盾.
所以 2∈X,即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时,2∈X.…(7分)
(ⅱ)同(ⅰ)可得:4∈X且8∈X.
若存在a∈X且a∉A∪B,则令Z=CU{a}.
那么Card(Z△A)+Card(Z△B)
=Card(X△A)-1+Card(X△B)-1
<Card(X△A)+Card(X△B).
所以 集合W中的元素只能来自A∪B.
若a∈A∪B且a∉A∩B,同上分析可知:集合X中是否包含元素a,Card(X△A)+Card(X△B)的值不变.
综上可知,当W为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4.
核心考点
试题【对于集合M,定义函数fM(x)=-1,x∈M1,x∉M,对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)•fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10】;主要考察你对集合运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知U=R,集合A={a|a≥2或a≤-2},B={a|关于x的方程ax2-x+1=0有实根},求A∪B,A∩B,A∩(∁UB).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知集合A={2,3,4},集合B={1,2,4,5},,若x∈A且x∉B,则x等于(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则M∩(∁UN)=(  )
A.{1,2}B.{4,5}C.{3}D.{1,2,3,4,5}
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知集合A={x|x2+3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则A∩∁RB=(  )
A.φB.{-1}C.[-2,-1]D.[-2,-1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
集合M={x|y=


-x2+6x+7
,x,y∈R},N={y|y=


-x2+6x+7
,x,y∈R},则集合M∩N=(  )
A.∅B.[-1,4]C.[-1,7]D.[0,4]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.