题目

题型：天津中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中．已知O坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转转角为α，∠ABO为β。
（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出即如果即可）。

答案

解：（I）∵点A（3，0）．B（0，4），
得OA=3，OB=4，
∴在Rt△ABO中，
由勾股定理，得AB=5，
根据题意，有DA=OA=3，
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO，
有，得

 又OM=OA-AM，得OM=，
∴点D的坐标为（）；

（Ⅱ）如图②，由己知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°-2∠ABC，，
又∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
有∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β。 （Ⅲ） 直线CD的解析式为或。