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题目
题型:不详难度:来源:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C.
(1)如图1,当A′B′AC时,设A′C与AB相交于点D.证明:△BCD是等边三角形;
(2)如图2,连接A′A、B′B,设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求:S△ACA′与S△BCB′的比;
(3)如图3,设AC中点为E,A′B′中点为P,BC=a,连接EP,求:角θ为多少度时,EP长度最大,并求出EP的最大值.
答案
(1)证明:如图1,∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠CBA=60°(直角三角形的两个锐角互余).
∵A′B′AC,
∴∠ACA′=∠CA′B′,
又由旋转的性质知,∠CA′B′=∠CAB=30°,
∴∠ACA′=∠CAB=30°,即θ=30°,
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°,
∴∠CDB=60°,
∴在△CDB中,∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°,
∴△BCD是等边三角形;

(2)证明:如图2,由旋转的性质可知AC=CA1,BC=CB1
AC
BC
=
CA1
CB1

又由旋转的性质知,∠ACA1=∠BCB1
∴△ACA1△BCB1
∴S△ACA′:S△BCB′=AC2:BC2=(


3
)2
:1=3:1;

(3)如图,连接CP,当△ABC旋转到△A′B′C的位置时,
此时θ=∠ACA′=150°,EP=EC+CP=
1
2
AC+
1
2
A′B′=
1
2
×


3
a+
1
2
×2a=


3
+2
2
a.
即角θ150°时,EP长度最大,其最大值是


3
+2
2
a.
核心考点
试题【在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C.(1)如图1,当A′B′∥A】;主要考察你对图形的旋转等知识点的理解。[详细]
举一反三
图1是边长分别为4


3
和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合).
(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连接AD,BE,CE的延长线交AB于F(图2).
探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论;
(2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3).
探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△AFC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.
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如图,在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC.
(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1
(2)在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2
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如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠ADB=30°,如果把AC所在的直线绕O点顺时针旋转一定的角度,这条直线与AD、BC分别交于E、F点,要使四边形BEDF是菱形,这个旋转最小的角是(  )
A.45°B.35°C.30°D.25°

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如图,若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE,那么对应边AB______,BC=______,对应角∠CAB=______,∠B=______.
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如图所示的图形绕着中心至少旋转______度后,能与原图形重合.
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