题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，△BCE与△BCD是关于BC成轴对称的，且恰好使A、C、E在一条直线上．求四边形BDCE的面积．

答案

解：解法1：∵AC=BC，CD⊥AB于D，
∴∠A=∠CBA，∠ACD=∠BCD，AD=BD=1，
根据已知条件有Rt△BCD≌Rt△BCE，
∴∠BCD=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE，
而A、C、E在一条直线上，
∴∠ACD+∠BCD+∠BCE=180°，
∴∠ACD=∠BCD=∠BCE=60°，
进而∠A=30°，
于是在Rt△ACD中，AC=2CD，AC²=CD²+AD²，
∴4CD²=CD²+1，CD=，
因此四边形BDCE的面积=2S△BCD=2BDCD=；
解法2：由对称性可知△CDB≌△CEB，
又AC=CB，CD⊥AB，
∴△ACD≌△CDB，
故S_{四边形BDCE}=S_△ABE，
∵Rt△ABE中，BE=BD=1，AB=2，
∴∠A=30°，AE=，
因此S_△ABE=××1=，即S_{四边形BDCE}=．