题目

题型：不详难度：来源：

已知⊙O₁和⊙O₂的半径都等于1，O₁O₂=5，在线段O₁O₂的延长线上取一点O₃，使O₂O₃=3，以O₃为圆心，R=5为半径作圆．

（1）如图1，⊙O₃与线段O₁O₂相交于点P₁，过点P₁分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₁A₁、P₁B₁（A₁、B₁为切点），连接O₁A₁、O₂B₁，求P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）如图2，若过O₂作O₂P₂⊥O₁O₂交O₃于点P₂，又过点P₂分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₂A₂、P₂B₂（A₂、B₂为切点），求P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁和⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）

答案

（1）在图1中，由已知A为切点，得O₁A₁⊥P₁A₁．
∴△O₁A₁P₁是直角三角形．
同理可得△O₂B₁P₁是直角三角形．
∴P₁A₁=

8

，P₁B₁=

3

．
∴P₁A₁：P₁B₁=

8

：

3

=2

2

：

3

．

（2）在图2中，连接O₁A₂，O₂B₂，P₂O₁，P₂O₃．
在Rt△O₂O₃P₂中，P₂O₂=4，P₂B₂=

15

．
同理可解，得P₂O₁=

41

，P₂A₂=

40

．
∴P₂A₂：P₂B₂=

40

：

15

=

8

：

3

=2

2

：

3

．

（3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以．
如：1．设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁、⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点）．
则有PA：PB=2

2

：

3

或PA：PB是一个常数；
2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O₁、⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），
若PA：PB=

8

：

3

，则点P在⊙O₃上．